Un sistema numérico es un conjunto de números que se relacionan para expresar la relación existente
entre la cantidad y la unidad. Debido a que un número es un símbolo, podemos encontrar diferentes
representaciones para expresar una cantidad.
CLASIFICACION
Los sistemas de numeración se clasifican en: posicionales y no posicionales.
SISTEMAS POSICIONALES
En ellos, cada cifra de un valor numérico contribuye al valor final dependiendo de su valor y de la posición
que ocupa dentro de él (valor relativo). En estos sistemas tenemos tantos símbolos como la base del
sistema. Los números mayores que la base se representan por medio de varias cifras.
El valor final será la suma de una serie de potencias de la base del sistema (B):
Donde A i son las distintas cifras del valor numérico e ‘i’ su posición.
SISTEMAS NO POSICIONALES
Al contrario que en el caso anterior, en este caso la contribución de cada cifra no depende del lugar que
ocupa. Un ejemplo de este sistema serían los números romanos:
La combinación XXI equivale a 21. Podemos ver cómo la cifra X aparece dos veces y siempre tiene el
mismo valor: 10 unidades, independientemente de su posición.
El inconveniente que tienen estos sistemas es que para escribir valores numéricos grandes son
necesarios muchos símbolos, y además resulta difícil efectuar operaciones aritméticas con ellos, cosa
que no sucede con los posicionales.
Los sistemas de numeración que veremos a continuación son todos sistemas posicionales.
A partir de ahora, para evitar confusiones, cuando expresemos un valor numérico pondremos un
subíndice al final indicando la base en la que se expresa dicho valor, salvo que por el contexto quede
suficientemente claro:
22510 = Base decimal
110112 = Base binaria.
110112 = Base binaria.
En el sistema de numeración decimal se utilizan diez símbolos, del 0 al 9 para representar una
determinada cantidad. Los diez símbolos no se limitan a expresar solamente diez cantidades diferentes,
ya que se utilizan varios dígitos en las posiciones adecuadas dentro de un número para indicar la
magnitud de la cantidad.
Base: 10
Símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
determinada cantidad. Los diez símbolos no se limitan a expresar solamente diez cantidades diferentes,
ya que se utilizan varios dígitos en las posiciones adecuadas dentro de un número para indicar la
magnitud de la cantidad.
Base: 10
Símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Cumple la fórmula anterior (B=10):
La posición de cada dígito en un número decimal indica la
magnitud de la cantidad representada y se le puede asignar
un peso. Los pesos para los números enteros son potencias
de 10, que aumentan de derecha a izquierda, comenzando
por 10 0 = 1
Para números fraccionarios, los pesos son potencias
negativas de diez que aumentan de izquierda a
derecha comenzando por 10–1 .
Ejemplo:
SISTEMA BINARIO
El sistema de numeración binario es simplemente otra forma de representar magnitudes. El sistema
binario es menos complicado que el sistema decimal ya que sólo tiene dos dígitos. Al principio puede
parecer más complicado por no ser familiar. El sistema decimal con sus diez dígitos es un sistema en
base 10, el sistema binario con sus dos dígitos es un sistema en base dos. Los dos dígitos binarios son 0
y 1. La posición de un 1 o un 0 en un número binario indica su peso dentro del número, así como la
posición de un dígito decimal determina el valor de ese dígito. Los pesos de un número binario están
basados en las potencias de dos.
Base: 2
Símbolos: 0,1
El sistema de numeración binario es simplemente otra forma de representar magnitudes. El sistema
binario es menos complicado que el sistema decimal ya que sólo tiene dos dígitos. Al principio puede
parecer más complicado por no ser familiar. El sistema decimal con sus diez dígitos es un sistema en
base 10, el sistema binario con sus dos dígitos es un sistema en base dos. Los dos dígitos binarios son 0
y 1. La posición de un 1 o un 0 en un número binario indica su peso dentro del número, así como la
posición de un dígito decimal determina el valor de ese dígito. Los pesos de un número binario están
basados en las potencias de dos.
Base: 2
Símbolos: 0,1
El formato para números enteros y fraccionarios es similar al de los números binarios.
Este sistema, presenta el inconveniente de que necesita muchas cifras para la representación de un
número grande, y es muy engorroso para un humano.
Sin embargo, el sistema binario es el más adecuado a las máquinas electrónicas por varias razones:
1. La mayor parte de las computadoras existentes representan la información y la procesan
mediante elementos y circuitos electrónicos de dos estados (relés, núcleos de ferrita, etc.).
2. Por la seguridad y la rapidez de respuesta de los elementos físicos de dos estados diferenciados
(ON / OFF).
3. Las operaciones aritméticas son sencillas.
número grande, y es muy engorroso para un humano.
Sin embargo, el sistema binario es el más adecuado a las máquinas electrónicas por varias razones:
1. La mayor parte de las computadoras existentes representan la información y la procesan
mediante elementos y circuitos electrónicos de dos estados (relés, núcleos de ferrita, etc.).
2. Por la seguridad y la rapidez de respuesta de los elementos físicos de dos estados diferenciados
(ON / OFF).
3. Las operaciones aritméticas son sencillas.
Los dieciséis primeros números binarios se escriben:
CONVERSIÓN BINARIO – DECIMAL
La forma más sencilla de realizar esta conversión es desarrollando la fórmula que vimos para los
sistemas posicionales (suma de potencias de la base).
La forma más sencilla de realizar esta conversión es desarrollando la fórmula que vimos para los
sistemas posicionales (suma de potencias de la base).
B = 2
Dado el número binario: “10112”, encontrar el equivalente decimal.
Si desarrollamos el número dado como potencias de 2 tendremos:
Ejemplo 2:
Ahora vamos a realizar lo mismo pero con cifras decimales.
Dado el número binario: “1011,0112”, encontrar el equivalente decimal.
Ahora vamos a realizar lo mismo pero con cifras decimales.
Dado el número binario: “1011,0112”, encontrar el equivalente decimal.
CONVERSIÓN DECIMAL – BINARIO
Existen dos métodos, Suma de pesos y división sucesiva por 2.
1. Método de suma de pesos
Consiste en determinar el conjunto de pesos binarios, cuya suma es igual al numero decimal. Una forma
sencilla de recordar los pesos binarios es que el peso más bajo es 1, es decir 20 y que duplicando
cualquier peso se obtiene el peso superior así tendremos 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ..... y así sucesivamente.
2. Método de la división sucesiva por 2.
Se divide sucesivamente el numero decimal entre 2. Cada cociente resultando se divide entre 2 hasta
que se obtiene un cociente cuya parte entera es 0. Los restos generados en cada división forman el
número binario. El primer resto es el bit menos significativo (LSB) del número binario, y el último resto es
el bit más significativo (MSB).
Ejemplo 1:
Vamos a obtener el equivalente binario del valor decimal: (falta ecuacion)
Si el número es decimal, se divide en parte entera y parte fraccionaria.
1. La parte entera se convierte utilizando uno de los dos métodos utilizados anteriormente.
2. La parte fraccionaria se puede convertirse utilizando dos métodos, suma de pesos o
multiplicación sucesiva por 2. En este caso se multiplica la parte fraccionaria por 2 y después se
multiplica cada parte fraccional resultante del producto por 2, hasta que el producto fraccionario
sea 0 o hasta que se alcance el número deseado de posiciones decimales. Los dígitos
acarreados ,o acarreos generados por la multiplicación dan lugar al número binario. El primer
acarreo que se obtiene es el MSB y el último el LSB.
Ejemplo 2:
Parte entera
Podemos utilizar cualquiera de los dos métodos, pesos o división sucesiva. Para este caso utilizaremos el
de los pesos.
Método de la multiplicación sucesiva:
El resultado final es la unión de ambos valores:
SISTEMA OCTAL
Este sistema tiene una base de ocho símbolos. La facilidad que existe en convertir entre el sistema
binario y el octal, permite expresar los numeros binarios en un formato más compacto, ya que cada dígito
octal equivale a 3 dígitos binarios.
Base: 8
Símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7
Este sistema tiene una base de ocho símbolos. La facilidad que existe en convertir entre el sistema
binario y el octal, permite expresar los numeros binarios en un formato más compacto, ya que cada dígito
octal equivale a 3 dígitos binarios.
Base: 8
Símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7
Los ocho primeros números octales se escriben:
CONVERSIÓN OCTAL-BINARIA
Para convertir un número expresado en base 8 a base 2, simplemente sustituimos cada una de las cifras
que lo forman por sus tres cifras binarias equivalentes.
Ejemplo: Convertir a Binario el número
Para convertir un número expresado en base 8 a base 2, simplemente sustituimos cada una de las cifras
que lo forman por sus tres cifras binarias equivalentes.
CONVERSIÓN BINARIA-OCTAL
Se realiza a la inversa, comenzando desde la coma decimal hacia la izquierda para la parte entera,
rellenando con 0’s a la izquierda si fuera necesario; y desde la coma decimal hacia la derecha para la
parte fraccionaria, rellenando con 0’s a la derecha si fuera necesario.
CONVERSIÓN DECIMAL- OCTAL
Se realiza del mismo modo que de decimal a binario, dividiendo la parte entera de forma sucesiva por la
base B=8, y multiplicando la parte fraccionaria por la base.
Ejemplo:
Expresar el número decimal en octal.
Parte entera
Base: 16
Símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
CONVERSIÓN HEXADECIMAL-BINARIO
Basta con sustituir cada símbolo hexadecimal por su equivalente en binario, según se indica en la tabla
siguiente:
Ejemplo:
Hállese el equivalente decimal del valor hexadecimal 39,B816.
Ejemplo:
Hállese el equivalente hexadecimal del número 4573.79 base 10
Parte entera
SUMA BINARIA
La tabla de adición siguiente nos muestra las 4 reglas básicas para sumar dígitos binarios:
0 + 0 = 0 Suma = 0 Acarreo = 0
0 + 1 = 1 Suma = 1 Acarreo = 0
1 + 0 = 1 Suma = 1 Acarreo = 0
1 + 1 = 1 0 Suma = 0 Acarreo = 1
Puede verse que las primeras tres reglas dan lugar a un resultado de un solo bit, y la cuarta regla, la
suma de dos unos, da lugar a 10( 2 en binario). Cuando se suman números binarios, teniendo en cuenta
la última regla se obtiene en la columna dada la suma 0 y un acarreo de 1 que pasa a la siguiente
columna de la izquierda, como se muestra:
0 - 0 = 0
1 - 1 = 0
1 - 0 = 1
10 - 1 = 1 0 – 1 con acarreo negativo (prestamo) de 1
Cuando se restan números, algunas veces se genera un acarreo negativo que pasa a la siguiente
columna de la izquierda. En binario esto sucede cuando se intenta restar 1 de 0. En este caso se pide
prestado un 1 de la siguiente columna de la izquierda, y en la columna que se está restando se genera un
10. Veamos esto con un ejemplo:
Supongamos que queremos realizar la resta 5 – 3 = 2 en binario. Esto es 101 – 011
Ejemplo: Calcular el producto 1100 x 1011.
Debido a esto, existen 3 formatos de representación de números con signo:
• Signo y magnitud:
• Complemento a uno
• Complemento a dos
En todos ellos, el signo del número viene representado por un bit adicional, el “Bit de signo”, que se
coloca en el extremo izquierdo del número binario con signo. Se utiliza el siguiente convenio:
“0”: signo positivo “1”: signo negativo
Representación signo y magnitud
En el sistema de signo y magnitud, un número se compone de una magnitud y un símbolo que indica si la
magnitud es positiva o negativa. Normalmente el bit del extremo izquierdo (MSB) como bit de signo, y los
restantes representan el valor numérico del número en formato binario (magnitud).
Con n bits se podrán representar números que van desde -(2^(n-1) -1) hasta +(2^(n-1) -1) y existen dos
representaciones posibles del cero.
Existen dos variantes en la forma de complemento: el complemento a 1 y el complemento a 2
En la tabla siguiente se muestran las diferentes representaciones para un número de 4 bits.
ADICION
Cuando se suman dos números binarios A y B (A + B) pueden producirse cuatro casos:
• A y B son positivos A + B ³ 0
• A y B son negativos A + B < 0
• A es positivo y B negativo, con A > |B| A + B ³ 0
• A es positivo y B negativo, con |B| > A A + B < 0
En cualquier caso, el procedimiento de la suma es muy sencillo: sumar los dos números y descartar el bit
de acarreo final (si lo hay).
Ejemplos:
Consideremos números con signo de 8 bits (n = 8).
• A y B son positivos (A = 7, B = 4)
Para comprobar el resultado se realiza el proceso inverso al complemento a 2 .(también se puede realizar
el complemento a 2 del resultado negativo y se obtiene el equivalente positivo. Compruébelo)
Como siempre, el bit de acarreo se desprecia. La suma es positiva
Para realizar la sustracción de dos números se obtiene el complemento a dos del sustraendo y se suman
los dos números representados en complemento a 2 en un sumador de n bits ignorando el acarreo del bit
mas significativo. Nuevamente el resultado será el valor algebraico correcto en la representación
complemento a 2 siempre que la respuesta esté en el rango -(2^(n-1) -1)hasta +(2^(n-1) -1)
• Suma de dos números negativos (A = 125, B = 58)
rellenando con 0’s a la izquierda si fuera necesario; y desde la coma decimal hacia la derecha para la
parte fraccionaria, rellenando con 0’s a la derecha si fuera necesario.
CONVERSIÓN OCTAL-DECIMAL
Se realiza del mismo modo que de binario a decimal, teniendo en cuenta que la base ahora es B=8.
Ejemplo:
Se realiza del mismo modo que de binario a decimal, teniendo en cuenta que la base ahora es B=8.
CONVERSIÓN DECIMAL- OCTAL
Se realiza del mismo modo que de decimal a binario, dividiendo la parte entera de forma sucesiva por la
base B=8, y multiplicando la parte fraccionaria por la base.
Ejemplo:
Parte entera
Parte fraccionaria
El resultado final es la unión de ambos valores:
SISTEMA HEXADECIMAL
Al igual que el sistema octal este sistema da una forma mas compacta para representar los números
binarios. Consta de 16 símbolos. Para indicar que el número se expresa en hexadecimal se suele colocar
una H al final, por ejemplo 34AF base 16 puede indicarse como 34AFH
Al igual que el sistema octal este sistema da una forma mas compacta para representar los números
binarios. Consta de 16 símbolos. Para indicar que el número se expresa en hexadecimal se suele colocar
una H al final, por ejemplo 34AF base 16 puede indicarse como 34AFH
Base: 16
Símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
CONVERSIÓN HEXADECIMAL-BINARIO
Basta con sustituir cada símbolo hexadecimal por su equivalente en binario, según se indica en la tabla
siguiente:
Ejemplo:
Hállese el equivalente binario del número 9A7E base
Hállese el equivalente binario del número 9A7E base
CONVERSIÓN BINARIO-HEXADECIMAL
La conversión de un número binario a hexadecimal se realiza a la inversa: se forman grupos de cuatro
cifras binarias a partir de la coma decimal, hacia la izquierda y hacia la derecha, y se sustituye cada
grupo por su equivalente hexadecimal. Si el grupo final de la izquierda queda incompleto, se rellena con
0’s por la izquierda. Del mismo modo, si el grupo final de la derecha queda incompleto, se rellena con 0’s
por la derecha.
Ejemplo:
La conversión de un número binario a hexadecimal se realiza a la inversa: se forman grupos de cuatro
cifras binarias a partir de la coma decimal, hacia la izquierda y hacia la derecha, y se sustituye cada
grupo por su equivalente hexadecimal. Si el grupo final de la izquierda queda incompleto, se rellena con
0’s por la izquierda. Del mismo modo, si el grupo final de la derecha queda incompleto, se rellena con 0’s
por la derecha.
Ejemplo:
CONVERSIÓN HEXADECIMAL-DECIMAL
La conversión se realiza siguiendo el mismo procedimiento que en las conversiones binario-decimal, pero
considerando la base B=16. En este caso, además, deberemos sustituir los valores A, B, C, D, E, F por
su equivalencia en el sistema decimal.
La conversión se realiza siguiendo el mismo procedimiento que en las conversiones binario-decimal, pero
considerando la base B=16. En este caso, además, deberemos sustituir los valores A, B, C, D, E, F por
su equivalencia en el sistema decimal.
Ejemplo:
Hállese el equivalente decimal del valor hexadecimal 39,B816.
CONVERSIÓN DECIMAL- HEXADECIMAL
Procederemos del mismo modo que en la conversión decimal-binario, considerando B=16. Dividiremos la
parte entera sucesivamente por la base, y la parte fraccionaria la multiplicaremos por la base.
Procederemos del mismo modo que en la conversión decimal-binario, considerando B=16. Dividiremos la
parte entera sucesivamente por la base, y la parte fraccionaria la multiplicaremos por la base.
Ejemplo:
Hállese el equivalente hexadecimal del número 4573.79 base 10
Parte entera
Parte fraccionaria
ARITMÉTICA BINARIA
La aritmética binaria es básica en las computadoras digitales.
Las operaciones aritméticas que vamos a ver son las mismas que para el sistema decimal:
• suma
• resta
• multiplicación
• división, para la base binaria
La aritmética binaria es básica en las computadoras digitales.
Las operaciones aritméticas que vamos a ver son las mismas que para el sistema decimal:
• suma
• resta
• multiplicación
• división, para la base binaria
SUMA BINARIA
La tabla de adición siguiente nos muestra las 4 reglas básicas para sumar dígitos binarios:
0 + 0 = 0 Suma = 0 Acarreo = 0
0 + 1 = 1 Suma = 1 Acarreo = 0
1 + 0 = 1 Suma = 1 Acarreo = 0
1 + 1 = 1 0 Suma = 0 Acarreo = 1
Puede verse que las primeras tres reglas dan lugar a un resultado de un solo bit, y la cuarta regla, la
suma de dos unos, da lugar a 10( 2 en binario). Cuando se suman números binarios, teniendo en cuenta
la última regla se obtiene en la columna dada la suma 0 y un acarreo de 1 que pasa a la siguiente
columna de la izquierda, como se muestra:
En la columna de la derecha 1 + 1 = 0 con acarreo 1, que pasa a
la siguiente columna de la izquierda.
En la columna central, 1 + 1 + 0 = 0 con acarreo 1 que pasa a la
siguiente columna de la izquierda. Y en la columna de la izquierda
1 + 0 + 0 = 1.
la siguiente columna de la izquierda.
En la columna central, 1 + 1 + 0 = 0 con acarreo 1 que pasa a la
siguiente columna de la izquierda. Y en la columna de la izquierda
1 + 0 + 0 = 1.
Cuando existe un acarreo igual a 1 se produce una situación en la que hay que sumar tres bits, un bit
correspondiente a cada uno de los números y un bit de acarreo de esta forma tenemos:
correspondiente a cada uno de los números y un bit de acarreo de esta forma tenemos:
La suma o adición es la operación aritmética de mayor importancia en los sistemas digitales. Como se
verá más adelante, las operaciones de sustracción, multiplicación y división se realizan utilizando
únicamente la adición como operación básica.
verá más adelante, las operaciones de sustracción, multiplicación y división se realizan utilizando
únicamente la adición como operación básica.
RESTA BINARIA
La tabla de siguiente nos muestra las 4 reglas básicas para restar dígitos binarios:
La tabla de siguiente nos muestra las 4 reglas básicas para restar dígitos binarios:
0 - 0 = 0
1 - 1 = 0
1 - 0 = 1
10 - 1 = 1 0 – 1 con acarreo negativo (prestamo) de 1
Cuando se restan números, algunas veces se genera un acarreo negativo que pasa a la siguiente
columna de la izquierda. En binario esto sucede cuando se intenta restar 1 de 0. En este caso se pide
prestado un 1 de la siguiente columna de la izquierda, y en la columna que se está restando se genera un
10. Veamos esto con un ejemplo:
Supongamos que queremos realizar la resta 5 – 3 = 2 en binario. Esto es 101 – 011
MULTIPLICACION BINARIA
La multiplicación de números binarios se realiza de la misma forma que con números decimales. Se
realizan los productos parciales, desplazando cada producto parcial una posición a la izquierda, y luego
se suman dichos productos. Es aun más sencilla que con números decimales, ya que en binario tan sólo
tenemos dos dígitos: 0 y 1. Cuando multiplicamos por 0 obtenemos 0, y cuando multiplicamos por 1
obtenemos el mismo número.
La multiplicación de números binarios se realiza de la misma forma que con números decimales. Se
realizan los productos parciales, desplazando cada producto parcial una posición a la izquierda, y luego
se suman dichos productos. Es aun más sencilla que con números decimales, ya que en binario tan sólo
tenemos dos dígitos: 0 y 1. Cuando multiplicamos por 0 obtenemos 0, y cuando multiplicamos por 1
obtenemos el mismo número.
Ejemplo: Calcular el producto 1100 x 1011.
DIVISION BINARIA
Se realiza del mismo modo que la división decimal. Por ejemplo dividir 110 entre 11
Se realiza del mismo modo que la división decimal. Por ejemplo dividir 110 entre 11
El resultado será cociente 10 con resto 0
REPRESENTACIÓN DE NUMEROS CON SIGNO
Los sistemas digitales deben ser capaces de manejar números positivos y negativos. Un número binario
con signo queda determinado por su magnitud (valor) y su signo (positivo/negativo).
El símbolo “-“ del sistema decimal no se puede representar en binario.
Los sistemas digitales deben ser capaces de manejar números positivos y negativos. Un número binario
con signo queda determinado por su magnitud (valor) y su signo (positivo/negativo).
El símbolo “-“ del sistema decimal no se puede representar en binario.
Debido a esto, existen 3 formatos de representación de números con signo:
• Signo y magnitud:
• Complemento a uno
• Complemento a dos
En todos ellos, el signo del número viene representado por un bit adicional, el “Bit de signo”, que se
coloca en el extremo izquierdo del número binario con signo. Se utiliza el siguiente convenio:
“0”: signo positivo “1”: signo negativo
Representación signo y magnitud
En el sistema de signo y magnitud, un número se compone de una magnitud y un símbolo que indica si la
magnitud es positiva o negativa. Normalmente el bit del extremo izquierdo (MSB) como bit de signo, y los
restantes representan el valor numérico del número en formato binario (magnitud).
Con n bits se podrán representar números que van desde -(2^(n-1) -1) hasta +(2^(n-1) -1) y existen dos
representaciones posibles del cero.
Esta representación presenta ciertos inconvenientes:
• Pues para cualquier operación aritmética debemos comprobar primero el signo, para después sumar o
restar en función del mismo.
• El diseño de circuitos lógicos que realicen operaciones aritméticas con números binarios en signomagnitud
no es fácil.
• Tenemos dos representaciones para el número 0:
• Pues para cualquier operación aritmética debemos comprobar primero el signo, para después sumar o
restar en función del mismo.
• El diseño de circuitos lógicos que realicen operaciones aritméticas con números binarios en signomagnitud
no es fácil.
• Tenemos dos representaciones para el número 0:
Representación en complemento
La utilización de números complementados es un concepto especialmente útil para simplificar la resta,
pues permite realizarla utilizando circuitos sumadores.
Los números positivos en este sistema se representan de la misma forma que los números positivos en
formato signo-magnitud, simplemente se añade un 0 como bit de signo a la magnitud del número. El
número 0 se identifica como positivo y tiene por tanto un bit de signo 0 y una magnitud de todos ceros.
Los números negativos son el complemento del correspondiente número positivo.
La utilización de números complementados es un concepto especialmente útil para simplificar la resta,
pues permite realizarla utilizando circuitos sumadores.
Los números positivos en este sistema se representan de la misma forma que los números positivos en
formato signo-magnitud, simplemente se añade un 0 como bit de signo a la magnitud del número. El
número 0 se identifica como positivo y tiene por tanto un bit de signo 0 y una magnitud de todos ceros.
Los números negativos son el complemento del correspondiente número positivo.
Existen dos variantes en la forma de complemento: el complemento a 1 y el complemento a 2
Complemento a uno
Como se dijo anteriormente, en notación complemento a 1 los números positivos se representan igual
que en signo y magnitud. Los números negativos se obtienen cambiando todos los 0’s por 1’s y
viceversa.
El rango de valores representables para un número de n bits va desde -(2^(n-1) -1)hasta +(2^(n-1) -1)
Como se dijo anteriormente, en notación complemento a 1 los números positivos se representan igual
que en signo y magnitud. Los números negativos se obtienen cambiando todos los 0’s por 1’s y
viceversa.
El rango de valores representables para un número de n bits va desde -(2^(n-1) -1)hasta +(2^(n-1) -1)
Ejemplo:
Complemento a dos
Los números positivos se expresan igual que en signo y magnitud y en complemento a uno. Los números
negativos se obtienen aplicando el complemento a 1 y sumándole 1
Complemento a dos
Los números positivos se expresan igual que en signo y magnitud y en complemento a uno. Los números
negativos se obtienen aplicando el complemento a 1 y sumándole 1
El rango de valores posibles representables para un número de n bits va desde -(2^(n-1) -1)hasta +(2^(n-1) -1)
Ejemplo:
De los tres sistemas explicados para representar números con signo se prefiere el de complemento a 2
puesto que la circuitería relacionada a las operaciones aritméticas se hace mas sencilla.
puesto que la circuitería relacionada a las operaciones aritméticas se hace mas sencilla.
En la tabla siguiente se muestran las diferentes representaciones para un número de 4 bits.
Operaciones aritméticas de números con signo
ADICION
Cuando se suman dos números binarios A y B (A + B) pueden producirse cuatro casos:
• A y B son positivos A + B ³ 0
• A y B son negativos A + B < 0
• A es positivo y B negativo, con A > |B| A + B ³ 0
• A es positivo y B negativo, con |B| > A A + B < 0
En cualquier caso, el procedimiento de la suma es muy sencillo: sumar los dos números y descartar el bit
de acarreo final (si lo hay).
Ejemplos:
Consideremos números con signo de 8 bits (n = 8).
• A y B son positivos (A = 7, B = 4)
• A y B son negativos (A = – 5, B = – 9)
510 = 0000 0101 : Complemento a 2 = 1111 1010 + 1 = 1111 1011
910 = 0000 1001 : Complemento a 2 = 1111 0110 + 1 = 1111 0111
510 = 0000 0101 : Complemento a 2 = 1111 1010 + 1 = 1111 1011
910 = 0000 1001 : Complemento a 2 = 1111 0110 + 1 = 1111 0111
En este caso tenemos acarreo, que descartamos. El resultado es 11110010. Como la suma es negativa,
el resultado está en Complemento a 2.
el resultado está en Complemento a 2.
Para comprobar el resultado se realiza el proceso inverso al complemento a 2 .(también se puede realizar
el complemento a 2 del resultado negativo y se obtiene el equivalente positivo. Compruébelo)
• A es positivo y B negativo, con A > |B| (A = 15, B = – 6)
Como siempre, el bit de acarreo se desprecia. La suma es positiva
• A es positivo y B negativo, con |B| > A (A = 16, B = – 24)
La suma es negativa y por lo tanto está en complemento a 2.
Resumiendo: Para realizar la adición de dos números se suman los dos números representados en
complemento a 2 en un sumador de n bits ignorando el acarreo del bit mas significativo. La suma será el
valor algebraico correcto en la representación complemento a 2 siempre que la respuesta esté en el
rango -(2^(n-1) -1)hasta +(2^(n-1) -1)
complemento a 2 en un sumador de n bits ignorando el acarreo del bit mas significativo. La suma será el
valor algebraico correcto en la representación complemento a 2 siempre que la respuesta esté en el
rango -(2^(n-1) -1)hasta +(2^(n-1) -1)
SUSTRACCION
La sustracción es un caso especial de la suma. Por ejemplo, restar + 6 (el sustraendo) de + 15
(minuendo) es equivalente a sumar – 6 a + 15. Básicamente la operación de sustracción cambia el signo
del sustraendo y le suma el minuendo. El signo de un numero binario positivo o negativo se cambia
calculándole su complemento a 2.
La sustracción es un caso especial de la suma. Por ejemplo, restar + 6 (el sustraendo) de + 15
(minuendo) es equivalente a sumar – 6 a + 15. Básicamente la operación de sustracción cambia el signo
del sustraendo y le suma el minuendo. El signo de un numero binario positivo o negativo se cambia
calculándole su complemento a 2.
Para realizar la sustracción de dos números se obtiene el complemento a dos del sustraendo y se suman
los dos números representados en complemento a 2 en un sumador de n bits ignorando el acarreo del bit
mas significativo. Nuevamente el resultado será el valor algebraico correcto en la representación
complemento a 2 siempre que la respuesta esté en el rango -(2^(n-1) -1)hasta +(2^(n-1) -1)
DESBORDAMIENTO
Hemos mencionado que el resultado será el valor algebraico correcto en la representación complemento
a 2 siempre que la respuesta esté en el rango -(2^(n-1) -1)hasta +(2^(n-1) -1)
Hemos mencionado que el resultado será el valor algebraico correcto en la representación complemento
a 2 siempre que la respuesta esté en el rango -(2^(n-1) -1)hasta +(2^(n-1) -1)
Cuando se suman dos números y el número de bits requerido para representar la suma excede al
número de bits de los dos números, se produce un desbordamiento (overflow), que se indica mediante un
bit de signo incorrecto (p.e. negativo cuando A y B son positivos). Un desbordamiento puede producirse
solo cuando ambos números son positivos o negativos. Veamos dos ejemplos con números de 8 bits. El
rango representable es -(2^(n-1) -1)hasta +(2^(n-1) -1) con n =8
número de bits de los dos números, se produce un desbordamiento (overflow), que se indica mediante un
bit de signo incorrecto (p.e. negativo cuando A y B son positivos). Un desbordamiento puede producirse
solo cuando ambos números son positivos o negativos. Veamos dos ejemplos con números de 8 bits. El
rango representable es -(2^(n-1) -1)hasta +(2^(n-1) -1) con n =8
Esto es de -(2^(n-1) -1)hasta +(2^(n-1) -1) = de –128 hasta + 127.
• Suma de dos números positivos (A = – 125, B = – 58)
Note que al sumar dos números positivos cuyo resultado está fuera del rango representable el resultado
es incorrecto, dando un número negativo.
es incorrecto, dando un número negativo.
• Suma de dos números negativos (A = 125, B = 58)
Note que al sumar dos números negativos cuyo resultado está fuera del rango representable el resultado
es incorrecto, dando un número positivo.
es incorrecto, dando un número positivo.
